거울속 ‘하트’ 한잎 두잎 꽃이 되네

엘리베이터를 탔을 때 서로 마주 보는 양쪽 벽면에 거울이 있는 경우 가끔 놀라기도 하고 신기해 하기도 한다. 거울을 쳐다 보면 거울에 비친 모습(거울의 상)들이 계속 반복되면서 거울의 중심 부분이 까맣게 보이기 때문이다. 이런 현상은 거울 면의 반사 성질 때문이다. 수학적으로는 어떤 성질과 관련이 있는지 살펴 보자.

관찰하고 추측하기

1. 색종이를 접어 적당한 모양을 그린 뒤, 이것을 가위로 오려 내면 접은 선에 대해 대칭인 도형이 나온다. 이런 방식으로 하트 모양을 오려 평면거울에 대어 보자. 거울에 비친 하트는 실제 하트와 어우러져 두 개의 꽃잎을 가진 꽃처럼 보인다(그림 1). 수학적으로 살펴 보자. 종이 위에 화살촉 모양의 사각형(빨간 색)을 그리자. 선분 MN에서 사각형의 각 꼭지점까지 떨어진 수직거리만큼 재어 선분 MN 밑에 네 개의 점을 찍어 보자. 이 점들을 선분으로 연결하면 처음 사각형과 같은 모양의 도형(연두색)을 얻는다(그림 2). 수학에선 두 사각형이 선분 MN에 대하여 서로 ‘대칭’이라고 말한다. 결국 서로 대칭인 두 사각형은 대칭의 기준이 되는 선분 MN(대칭축)으로부터 같은 거리만큼 떨어져 있음을 알 수 있다.

2. 이번엔 평면거울 두 개로 90도의 각을 만들어 하트 모양에 대어 보자. 거울에 비친 하트는 실제 하트와 어우러져 네 개의 꽃잎을 가진 꽃처럼 보인다(그림 3). 수학적으로 살펴 보자. 가로 방향 선분 MN과 세로 방향 선분 EF의 교점을 O라 하자. 화살촉 모양의 사각형(빨간 색)을 선분 MN에 대칭시킨 뒤 이것을 다시 선분 EF에 대칭시키든, 선분 EF에 대칭시킨 뒤 이것을 다시 선분 MN에 대칭시키든, 어느 경우나 같은 모양의 사각형(노란 색)을 얻는다. 또 화살촉 모양의 사각형(빨간 색)을 점 O에 대칭시키면 같은 모양의 사각형(노란 색)을 얻는다(그림 4). 따라서 선대칭을 두 번 적용하면 점대칭이 되는 것을 알 수 있다.

이제 두 개의 평면거울이 이루는 각에 변화를 주자. 두 거울 면이 이루는 각이 120도이면 하트 모양은 세 개의 꽃잎을 가진 꽃처럼 보인다. 이번엔 두 거울 면이 이루는 각을 60도, 30도로 만들어 관찰해 보자. 꽃잎이 6개, 12개인 꽃처럼 보인다. 어떤 수학적 규칙이 숨어 있을까? 두 거울 면이 이루는 각을 나타내는 수에 꽃잎의 개수를 곱하면 어느 경우나 360이 된다. 숫자가 있는 시계의 큰 바늘과 작은 바늘처럼 두 개의 거울 면이 이루는 각에 따라 두 거울이 만들어 내는 물체의 개수가 달라진다. 실제 실험을 통해 두 평면거울이 만들어 내는 마술을 경험해 보라. 발견의 기쁨은 실험하는 자의 몫이다. 6s김흥규/서울 광신고 교사 [e-mail]