바닷가서 채취한 사금…공평한 분배방법은?

창의적 문제해결 연습

1. 바닷가에서 하나, 두나, 세나, 네나가 협력해 사금을 채취했다. 문제는 작업을 끝낸 후 발생했다. 네 명이 공평하게 나누어야 할텐데 측정기구가 없다. 네 명이 공평하게 나눌 수 있는 방법을 제시하라. 현재 상태로 어렵다면 두 명이 나눌 때, 세 명이 나눌 때의 공평한 방법을 찾아보고 진행해보아라.

2. 하나와 두나가 게임을 했다. 하나와 두나는 자신의 점수만을 알고 상대방의 점수는 모르는 채로 엄마에게 들켜 게임기를 빼앗겼다. 다음 대화를 보고 물음에 답하여라.

엄마 : 두 사람의 점수 차이는 50점이야. 상대방의 점수는 몇 점일까?

하나 : (잠시 생각을 하고 나서) 난 두나의 점수를 잘 모르겠어.

(하나의 말을 듣고 두나는 잠시 생각하더니)

두나 : 나도 하나의 점수를 모르겠네.

(두나의 말이 끝나자마자 하나가 소리를 질렀다.)

하나 : 알았다. 내 점수가 1점이라도 높았다면 몰랐을 거야.

그러면, 두 사람의 점수는 몇 점일까? 단, 게임기의 점수는 자연수이다.

3. 5명의 해적은 같은 크기의 매우 값진 보석 100개를 훔쳤다. 그들은 이렇게 나누기로 결정했다. 제비뽑기의 방법으로 자신의 번호(1, 2, 3, 4, 5)를 정해 뽑기로 결정한 것이다.

먼저, 1번이 분배 방법을 제시하면 5명이 다수결 방식으로 진행하기로 했다. 과반수가 찬성을 하면 그 사람의 방식으로 나누기로 하고, 그렇지 않으면 상어의 먹이로 바다에 던지기로 했다. 1번이 죽으면, 2번이 제시한 방법으로 나머지 4명이 다수결 방식을 통해 진행된다. 2번 또한 1번과 같은 방법으로 죽게 된다. 다른 분배 방법 또한 다른 것들에 의해서 유추할 수 있다. 해적들은 모두 영리하기 때문에 지혜롭게 득실을 판단해 선택할 수 있다.

그들의 판단 원칙은 중요도 순서로 ‘목숨 부지’, ‘최대한 많은 보석 얻기’, ‘최대한 많이 죽이기’다.

과연, 첫 번째 해적은 어떤 분배 방식을 제시해야 자신의 수익을 최대화할 수 있는가?

---

창의적 문제해결 연습 답안

◎ 1. 두 명이 나누는 경우, A가 나누고 B가 고른다.

A는 고를 권한이 없으므로 어느 것을 가져도 상관없도록 나눈다. B는 둘 중 마음에 드는 것을 가져가면 만족하고, A도 역시 불만이 없다.

세 명이 나누는 경우, A가 나누고 B가 마음에 들지 않는 한 개를 지정한다. C가 그것을 마음에 들어하면 C가 그것을 가지고 이제 두 명이 남았으므로 위의 방법을 다시 진행한다. C가 그것을 마음에 들어하지 않으면 A가 그것을 가지고 역시 두 명이 남았으므로 위의 방법을 다시 진행한다.

네 명이 나누는 경우, A가 나누고 B가 마음에 들지 않는 한 개를 지정한다. C나 D 중 그것을 마음에 들어하는 사람은 그것을 가지면 세 명이 남으므로 위의 방법을 진행한다. C, D 모두 그것을 마음에 들어하지 않으면 A가 그것을 가지고 역시 세 명이 남으므로 위의 방법을 진행한다.

◎ 2. 하나 150점, 두나 200점

하나의 첫 번째 발언을 분석하자.

하나는 두나의 점수가 0보다 큰 정수임을 알고 있다. 만약, 하나의 점수가 50점 이하라면 자신의 점수보다 50점 작은 점수는 두나의 점수로 불가능하므로 자신의 점수보다 50점이 많은 점수가 두나의 점수임을 알 수 있다. 그런데, 하나는 두나의 점수를 모른다고 하였으므로 하나의 점수는 50점보다 큰 점수라는 것을 알 수 있다. 두나도 이와 같은 생각에 의해, 하나의 점수가 50보다 큰 정수임을 알게 된다.

이제, 두나의 발언을 분석하자. 생각하는 방법은 위와 같다.

두나는 하나의 점수가 50보다 큰 정수임을 알고 있다. 만약, 두나의 점수가 100점 이하라면 자신의 점수보다 50점 작은 점수는 하나의 점수로 불가능하므로 자신의 점수보다 50점 많은 점수가 하나의 점수임을 알 수 있다. 그런데, 두나는 하나의 점수를 모른다고 하였으므로 두나의 점수는 100점보다 큰 점수라는 것을 알 수 있다. 하나도 이와 같은 생각에 의해, 이제 두나의 점수가 100점보다 큰 정수임을 알게 된다.

하나의 마지막 발언을 분석하자.

위와 같은 생각을 하면, 하나의 점수는 150점 이하일 때, 두나의 점수를 알게 되고, 150점보다 큰 점수이면 두나의 점수를 여전히 알 수 없게 된다. 그런데, 하나는 두나의 점수를 알겠다고 하였으므로 하나의 점수는 150점 이하이고, 하나의 점수가 1점이라도 높았더라면 몰랐을 거라고 하였으므로 하나의 점수는 150점 미만일 수는 없다. 예를 들어, 하나의 점수가 149점이라면, 하나의 점수가 1점 높아서 150점이라도 두나의 점수를 알 수 있는 상황인 것이다. 따라서, 하나의 점수는 150점이고, 두나의 점수는 하나의 점수보다 50점 많은 200점이다.

◎ 3. 이 상황을 해결할 가장 중요한 키는 마지막에서부터 유추하는 것이다.

1~3번까지의 제안이 모두 거절당하여 이 세 명이 모두 상어에게 잡아 먹혔다고 하자. 그러면 4번과 5번이 남게 되고 5번은 반드시 반대표를 들어 4번을 상어에게 잡아 먹히게 한 다음 금화를 독차지한다. 이는 세 가지 판단원칙을 모두 만족한다. 그러므로 4번은 자신의 가장 중요한 판단 원칙인 ‘목숨부지’를 위해 3번을 지지해야만 목숨을 건질 수 있다.

3번은 100, 0, 0의 분배방안을 제시한다. 3번은 4번이 얻는 것이 하나도 없어도 찬성표를 들어 자신에게 한 표가 더해질 것을 알기 때문에 투표 결과는 2:1로 그의 방법은 통과한다.

2번은 3번의 방안에 미루어 98, 0, 1, 1의 방안을 제시한다. 4번과 5번은 3번이 제시할 100, 0, 0의 방안이 통과되면 자신들이 얻을 것이 없기 때문에 이보다 나은 2번의 제안에 동의를 하게 된다. 그러면 투표결과는 3:1로 통과한다.

1번은 2번의 방안에 미루어 97, 0, 1, 2, 0 또는 97, 0, 1, 0, 2를 제안한다. 3번과 4번 또는 3번과 5번의 지지를 얻기 위함이다. 4번과 5번의 지지를 얻기 위해선 자신이 96, 0, 0, 2, 2를 제시해야하기 때문이다. 97, 0, 1, 2, 0은 3번과 4번의 지지를 얻고, 97, 0, 1, 0, 2는 3번과 5번의 지지를 얻게 되므로 투표 결과는 3:2가 되어 1번의 방안은 통과되고 이것이 1번이 가장 큰 수익을 얻을 방안이 된다.

클래스온 수석연구원 박동훈

※ 매주 수요일 오후 6시40분에 클래스온 누리집(www.class-on.com)에서는 문제에 풀이과정을 출제자가 직접 실시간 동영상으로 해설한다. 동영상 강의는 쌍방향으로 이뤄지기 때문에 이 시간대에 접속하면 문제와 관련한 질문을 직접 할 수 있다. 또 클래스온 누리집에 답안을 올리면 매주 한 명을 선정해 클래스온 강의를 무료로 제공한다.

클래스온 수석연구원 박동훈