수학적 언어·그림으로 풀어내는 ‘문장제 문제’

수학으로 생각하고 문제 해결하기

창의적 문제해결능력

수학으로 생각하고 문제 해결하기 /

7. 문제해결력의 의미

8. 문제해결전략 ①

9. 문제해결전략 ②

수학을 잘하는 학생이나 수학을 어려워하는 학생 모두가 보자마자 주춤하는 문제 유형이 있다. 바로 ‘문장제 문제’다. 수학적 언어가 아닌 일반적 문장으로 서술된 문제를 문장제 문제라고 하는데, 공식에 의한 문제 풀이에 익숙한 학생들에게 문장제 문제는 더욱 성가시고 당혹스러운 대상이 된다. 문제를 읽고 어떤 해결 방식으로 식을 세워야 할지, 어떤 방법으로 접근해야 하는지에 대한 이해와 판단이 필요하기 때문이다.

문장제 문제를 어려워하는 학생들은 글로 표현된 문제에 대한 수학적 이해가 부족하다. 하지만 문장제 문제가 대부분의 학생들에게 익숙한, ‘공식을 활용하는 문제’에 비해 난이도가 특별히 높은 것은 아니다. 일상 언어로 제시된 문제를 수학적 언어로 표현하는 것에 익숙하지 않아 어렵게 느끼게 된다. 그럴 때 필요한 것이 문제해결 전략을 세우는 일이다.

문제해결 전략이란 문제해결에 도움이 되는 일반적인 절차나 해법의 실마리가 되는 생각, 발견의 실마리를 얻도록 하는 방법 등의 사고전략을 뜻한다. 문제해결 전략은 문제에서 주어진 것과 구하려는 것 사이의 관계를 파악하기 위해 이용하기도 하며 주어진 문제를 올바르게 해결하기 위해 계획을 세우는 단계에서 이용하기도 한다.

수학에서 문제해결 전략의 종류는 예상과 확인, 표 만들기, 식 세우기, 그림 그리기, 규칙성 찾기, 거꾸로 풀기, 단순화하기, 특수화하기, 유추하기, 간접 증명법 등 다양하다. 이 가운데 대표적인 문제해결 전략인 ‘식 세우기’와 ‘그림 그리기’를 예와 함께 알아보자.

식 세우기 전략은 문장제 문제를 수학적 식으로 표현하는 것을 말한다. 즉, 일상 언어를 수학적 언어로 번역하는 것이다. 한 문장을 번역하려면 그 문장을 완벽히 이해하고 그 나라 말에 익숙해야 하듯, 말로 제시된 문제를 수학적 식으로 나타내려면 문제의 조건을 정확히 이해해야 하고 수학적으로 표현하는 것에 익숙해야 한다. 이때 말로 제시된 문제가 쉬운 경우에는 즉각 식으로 표현할 수 있지만, 좀더 어려운 경우에는 곧바로 식을 세울 수 없을 때도 있다. 학생들은 이런 경우 문장제 문제가 어렵다고 느낀다. 이럴 때는 왼쪽에는 조건을, 오른쪽에는 수학적 기호를 표시해 식을 세우는 연습을 해보자.

■ 다음은 예시 문항과 풀이다.

어느 마을에 두 개의 초등학교가 있습니다. 창의초등학교의 학생 수는 탐구초등학교 학생 수의 2배입니다. 두 학교에서 각각 70명의 학생이 전학을 갔더니 창의초등학교의 학생 수가 탐구초등학교 학생 수의 3배가 되었습니다. 두 학교의 처음 학생 수는 각각 몇 명인지 구해 봅시다.

9

따라서 방정식을 풀면 3×ｘ-210=2×ｘ-70,ｘ=210-70=140이다. 그러므로 처음 창의초등학교 학생 수는 280명이고, 탐구초등학교 학생 수는 140명이다.

식 세우기 전략에서 주의할 점은 곧바로 식으로 표현하는 게 아니라 문제에서 주어진 조건을 쪼개어 생각하고 수학 언어로 바꾸는 과정을 기록해야 한다는 것이다.

■ 다음은 그림 그리기 전략에 대해 알아보자.

그림 그리기 전략은 문제를 해결하는 데 중요한 구실을 하는 것으로, 문장제 문제를 그림을 그려 표현하면 글로 쓴 것보다 알아보기 쉽고, 기억하기 쉬워진다. 문제에 포함돼 있는 정보와 관계를 여러 그림을 이용해 시각화하면 문제를 더 명확히 이해할 수 있으며, 답을 어떻게 구하게 되었는지 알 수 있고, 때에 따라서는 대강 그려도 문제를 풀기 위한 생각이 떠오를 때도 있다. 이때 문제를 풀기 위해 그린 그림은 꼭 정확하게 그릴 필요는 없다. 왜냐하면 문제 이해를 돕거나 문제 해결을 위한 것이 그림 그리기 전략의 목적이기 때문이다. 따라서 간단한 도형, 그래프 등을 이용해 그리면 된다.

위의 예시 문항을 그림을 이용해 풀어보도록 하자. 위 문제를 그림으로 해결할 경우 방정식을 모르는 초등학생들도 충분히 활용할 수 있다.

전학을 가기 전 두 학교의 학생 수를 그림으로 나타내어 보자.

두 학교에서 각각 70명의 학생이 전학을 갔더니 창의초등학교의 학생 수가 탐구초등학교 학생 수의 3배가 되려면 다음과 같이 되어야 한다.

9

70명은 탐구초등학교 학생 수의 1/2 이고, 창의초등학교 학생 수의 1/4 이다.

따라서 처음 창의초등학교 학생 수는 70×4=280(명)이고 탐구초등학교의 학생 수는 70×2=140(명)이다.

정은희 연구원 와이즈만 영재교육연구소

예시 문제 풀이에서 알 수 있듯이 같은 문제라도 다양한 문제해결 전략을 사용해 문제를 풀 수 있다. 따라서 문제를 해결할 때 자신이 생각한 대로 문제가 풀리지 않는다면 한 가지 문제해결 방법만을 고집하지 말고 다양한 방법과 가장 적합한 전략을 찾는 것이 중요하며, 이에 익숙해진다면 문장제 문제나 익숙하지 않은 문제 유형을 만나도 당황하지 않고 해결방법을 찾을 수 있다.

생각해보자

1부터 10까지의 합을 식을 세우는 방법과 그림을 이용한 방법을 이용해 해결해 보자.

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = ?

정은희 연구원 와이즈만 영재교육연구소

▶ 풀이는 <아하 한겨레> 누리집(www.ahahan.co.kr)의 ‘교육정보’ 면에서 확인하세요.