공식 암기 말고 원리 파악하라

장이지의 수학 돋보기

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6. 기본 공식은 증명으로 익혀야

‘깜지’에 수학공식을 적으며 열심히 외운다. 마치 영어단어를 외우듯 기계적으로 암기한다. 수학 공부를 하는 아이들한테서 흔히 볼 수 있는 모습이다.

수학에서 공식은 중요하다. 공식을 기억하고 있으면 불필요한 반복 과정을 줄일 수 있어 계산이 빨라지기 때문이다. 이차방정식을 풀 때 ‘근의 공식’을 사용하는 경우가 대표적인데, 공식을 모르면 매번 완전제곱식으로 바꿔 해를 찾아야 하지만 공식을 알고 있다면 계수를 대입해 쉽게 구할 수 있다. 그런데 공식의 편리함을 경험한 아이들은 모든 문제를 공식으로 처리하려는 유혹에 빠진다. 문제집엔 각각의 경우에 적용할 수 있는 공식들이 친절하게 정리돼 있어 아이들은 더욱 공식에 빠져든다.

하지만 모든 문제를 공식에 기대어 풀려는 자세는 버려야 한다. 모든 경우에 딱 들어맞는 공식이 있는 것도 아니고, 설령 있다 해도 모두 외울 수는 없기 때문이다. 출제자도 공식에 단순 대입해 풀 수 있는 문제를 내지 않기 때문에 들인 노력에 비해 효과도 그리 크지 않다.

가장 중요한 기본 공식만 외우자. 이때 기계적으로 암기하지 말고 기본 원리에 충실하게 유도를 한 뒤 외우면 파생되는 공식도 쉽게 이끌어낼 수 있어 외워야 할 분량이 줄어듦은 물론 노력도 적게 들고, 응용할 수 있는 힘도 생긴다. 곱셈공식 가운데 (a+b)²

=a²+2ab+b² 은 매우 간단한 공식으로 ( a + b )(a+b)=a²+ab+ba+b²으로 전개해 유도할 수 있다. ‘전개’하는 방식만 알면 (a-b)²=a²-2ab+b², (a+b)(a-b)=a²-b²이란 공식도 예시 문제를 푸는 과정에서 저절로 외워진다. 만일 전개하는 과정이 힘들다면 괄호 안의 문자들을 ‘분배법칙’에 의해 펼치는 방식을 잘 알지 못하는 경우로 분배법칙에 관한 내용을 되짚어봐야 한다.

이렇게 기본 공식을 원리에 기초해 익혔다면 a²+b²=(a+b)²-2ab, a²+b²=(ab)²+2ab처럼 변형된 공식들은 원래의 것을 조금만 뒤틀어서 유도할 수 있다. 변형공식이 생각나지 않더라도 기본 공식을 조금만 변형하면 이끌어낼 수 있기 때문에 공식을 외워야 한다는 부담을 덜 수 있다. 최근엔 수학 서술형 문제가 공식을 증명하는 형태로 많이 출제되곤 한다. 증명으로 공식을 익히면 서술형 수학 문제에도 쉽게 대처할 수 있는 힘이 생긴다.

1318 교육연구소 연구원