어떤 육각형이어야 평면 채울수 있을까

창의력 쑥쑥 퀴즈/

다각형이나 다면체 한 가지를 반복해 배열해서 평면이나 공간을 채워나가는 것을 타일링이라고 한다. 삼각형이나 사각형은 어떤 모양이든지 모양을 정해서 계속 반복하면 평면을 빈틈없이 채울 수 있다.

정오각형은 배치를 하면 빈틈이 생기지만 정오각형이 아닌 오각형으로 평면을 꽉 채우려면 14가지가 가능하다고 알려져 있다. 이 14가지뿐이라는 주장은 아직 증명이 돼 있지 않지만 더 있다는 발표도 아직 없다. 정육각형은 벌집 모양에서 볼 수 있듯이 평면을 다 채울 수 있다. 정육각형이 아닌 육각형으로 평면을 채울 수 있는 경우는 그림처럼 3가지가 알려져 있다고 한다. 잘 살펴보고 6개의 변과 6개의 각에 조건을 만들어 보자.

문미옥/이화여대 와이즈거점센터(wise.or.kr) 연구교수

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(지난주 정답)

12개다. 2차원에서처럼 바닥에 우선 6개를 평평하게 깔고 아래, 위쪽에 각각 3개씩 쌓아 올릴 수 있다. 이렇게 쌓아올리면 그림처럼 가장 빽빽하게 공으로 공간을 채우는 두 가지 방법인 면심입방이나 육모꼴이 된다. 이 둘은 보는 방향에 따라 다르게 표현된 것이다. 300년에 가까운 세월 동안 ‘케플러의 추측’을 수많은 수학자들이 증명하려고 시도해왔고 마침내 1998년에 미시간대학교의 토마스 헤일즈가 수많은 경우를 검증하는 방식을 도입해서 3기가바이트에 이르는 컴퓨터 프로그램으로 계산함으로써 99% 가량 증명했다고 발표했다. 특이한 증명법이긴 하지만 케플러의 추측이 수학적 정리가 되는 데 아주 근접해 있다. 눈으로 보기에 뻔해 보이는 것도 수학적 증명을 거치지 않고는 추측에 머무른다.